BAB V
MOMEN KEMIRINGAN
DAN KURTOSIS
- Momen
Misal diketahui variabel X dengan
harga X1, X2, X3 . . . . Xn. Jika A
sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, 3,
maka momen
di sekitar A disingkat m’r didefinisikan
oleh
Dengan
n = , Xi = tanda kelas
interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan Xi.
Dengan menggunakan cara coding, rumusnya:
m’r = , P = Panjang
kelas, C = Variabel koding.
Dari m’r
harga-harga mr dapat ditentukan berdasarkan hubungan:
m2
= m2’ – (m1’)2
m3
= m3’ – 3m1’ + m2 + 2(m1’)3
m4
= m4’ – 4m1’ + 6 (m1’) m2 – 3 (m1’)
Untuk menghitung momen
disekitar rata-rata, untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan
sebagai berikut:
TABLE 5.1: Table pembantu untuk mencari m
|
Data
|
f1
|
Ci
|
f1Ci
|
f1C12
|
f1C13
|
f1C14
|
|
60 – 63
64 – 67
68 – 71
72 – 75
76 – 70
|
5
18
42
27
8
|
-2
-1
0
1
2
|
-10
-18
0
27
16
|
20
18
0
37
42
|
-40
-18
0
27
64
|
80
18
0
27
128
|
|
Jumlah
|
100
|
|
15
|
97
|
35
|
253
|
Dapat dihitung:
Sehingga dengan menggunakan
hubungan di atas:
m2 = m2’
– (m1’)2 = 15,52 – 0,36 = 15,16
m3 = m3’
– 3m1’ m2’ + 2(m1’)3 = 5,28 –
3x0,6x15,52 +2x (0,6) = 21,456
m4 = m4’
– 4m1’ m3’ + 6 (m1’)2 (m2’)...........
= 40,48 – 4x0,6 x 5,28 + 6 x 0,6 2x15,52
– 3x0,42
= 60,9424
Jadi Varian S2 = m2
= 15,16
- Kemiringan
Kurva distribusi
normal, yang tidak terlalu rucing atau tidak terlalu datar. Dinamakan mesokurtik,
kurva yang
runcing dinamakan leptokurtik sedangkan yang
datar disebut platikurtik.
Salah satu
ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan dengan rumus a4
= (m4/m)
Kriteria yang didapat dari
rumus ini ialah:
a) a4
= 3 à Distribusi normal
b) a4
> 3 à Distribusi yagn leptokurtik
c) a4
< 3 à Distribusi yang platikurtik
Untuk
mengetahui apakah distribusi normal atau tidak sering pula dipakai koefisien
kurtosis persentil, diberi simbul:
SK = rentang semi antar
kuartil
K3 = kuartik ketiga
K1 = kuartil kedua
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke 90
Untuk
distribusi normal, harga κ = 0,263
Untuk contoh di atas telah di
dapat m4 = 60,9424, sedangkan m = 15,17 sehingga besarnya koefisien
kurtosis a4 = (m4/m
) =
60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman
platikurtik.
) =
60,9424/229,8256 = 0,265, ini kurang dari 3, jadi kurvanya cenderung aman
platikurtik.Contoh: data nilai ujian Fisika dasar dari 80 mahasiswa, akan kita cari koefisien kurtosis persentil besarnya:
Dimana K1 dan K3 telah kita hitung; K1 = 81,676
dan K3 = 61,75, adapun datanya telah disusun dalam daftar sebagai berikut:
|
No
|
Nilai Ujian
|
Fi
|
|
1
2
3
4
5
6
7
|
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
|
3
5
10
16
24
17
5
|
|
|
Jumlah
|
80
|
Dengan menggunakan rumus Pi =
b + P dimana P = panjang kelas dapat dihitung P10 dan P90.
P10 akan terletak pada data ke
, yaitu pada kelas interval ke 2 sehingga b = 40,5, P = 10; F
= 3 f = 5
P10 = 40,5 + 10 = 50,5
P90 akan terletak pada data ke
, yaitu pada kelas interval keenam, sehingga b = 80,5, P =
10, F = 8, f = 17
P90 = 80,5 + 10 = 81,32
BAB VI
TEORI PELUANG
A. Definisi Peluang
Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca
temperatur udara tiap hari dari termometer, menghitung banyak barang rusak yang
dihasilkan tiap hari, mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan
setiap jam, mencatat banyaknya mahasiswa yang absen dan sebagainya, merupakan
eksperimen yang dapat diulangi. Hasil eksperimen tersebut dapat dicatat. Segala bagian yang mungkin didapat dari
hasil ini dinamakan peristiwa. Contoh:
Catat banyaknya kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam.
Hasilnya bisa terdapat 0,1,2,3,4,5….buah kendaraan setiap jam yang melalui
tikungan tersebut.
Beberapa peristiwa yang didapat misalnya tidak ada kendaraan yang melalui
tikungan selama satu jam, lebih dari lima
kendaraan, lebih dari sepuluh kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam
dan sebagainya.
Untuk menyatakan peristiwa akan digunakan huruf-huruf besar A, B, C.
misalnya A berarti tidak kendaraan, B berarti ada lebih dari lima kendaraan. C berarti ada lebih dari
sepuluh kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam, dan sebagainya.
Definisi: Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif jika terjadi
peristiwa yang satu mencegah terjadinya yang lain:
Contoh:
- E berarti barang yang dihasilkan rusak dan E berarti barang yang dihasilkan tidak rusak. Dua peristiwa ini saling ekslusif.
- Pada waktu menempuh EBTA, murid-murid mempunyai dua kemungkinan, lulus dan tidak lulus
Maka peristiwa lulus dan tidak
lulus merupakan dua peristiwa yang saling ekslusif.
Definisi Klasik untuk Peluang
Misalkan sebuah peristiwa E
dapat terjadi sebanyak n kali diantara N peristiwa yang saling ekslusif dan
masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama.
Maka pelunag peristiwa E terjadi dan disingkat dengan P (E) =
Contoh:
Sebuah kotak berisi 50
kelereng yang identik kecuali warnanya. Terdapat 16 kelereng berwarna biru. 12
berwarna hijau 14 berwarna merah dan sisanya berwarna kuning. Kelereng dalam
kotak diaduk baik-baik, lalu diambil dengan mata ditutup. Peluang mengambil
kelereng berwar
Definisi klasik tersebut
bersifat samar-sama karena adanya
perkataan masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, yang
namapknya sinonim dengan pengertian peluang yang sama. Karena definisi peluang
empirik sering digunakan. Definisi: Kita
perhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah
pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif
apabila jumlah pengamatan bertambah sampai tak hingga. Contoh: Mata uang logam
mempunyai dua muka yang berlainan yaitu G (gambar) dan A (angka). Lalukan
lemparan mata uang logam homogen itu 1000 kali, misal di dapat muka A sebanyal
520 kali. Frekuensi relatif muka A = 0,520. Diulang dengan 200 kali, di dapat
muka A sebanyak 1011 kali, frekuensi relatif muka A = 0,5055. Diulang dengan
400 kali, didapat muka A sebanyak 2018 kali, frekuensi relatif muka A = 0,5045.
jika eksperimen tersebut dilanjutkan, nilai frekuensi relatif lambat laun makin
dekat pada sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka A. Dalam hal ini
bilangan tesebut adalah 0,5.
Atas dasar definisi di atas, dituliskan P (a) = ½
B. Beberapa Aturan Peluang
Dari definisi diperoleh P (E) = . Paling
kecil n = 0, yakni peristiwa E tidak ada, paling besar n = N, yakni semua yang terjadi merupakan
peristiwa E.
0 < P (B) < 1
Jika N menyatakan bukan peristiwa E, maka di dapat:
P (
) = 1 – P (E)
) = 1 – P (E)
P (E) + P() = 1
) = 1
Peristiwa-peristiwa
E dan dikatakan saling
berkomplemen.
dikatakan saling
berkomplemen.
Contoh:
Kalau seorang anak
bermain-main dilapangan pada waktu turun hujan lebat, peluang menjadi sakit =
0,08, maka peluang tetap sehat = 0,20.
Peristiwa E dan merupakan dua peristiwa yang saling eksklusif,
terjadinya E menghindari terjadinya dan sebaliknya.
merupakan dua peristiwa yang saling eksklusif,
terjadinya E menghindari terjadinya dan sebaliknya.
Jika k buah peristiwa E1,
E2,…..Ek saling ekslusif, maka peluang terjadinya E1 atau E2 atau …….Ek sama
dengan jumlah peluang tiap peristiwa.
P (E1 atau E2 atau ……atau Ek)
P (E1) + P (E2) + ……+ P (Ek)
Contoh:
1)
Waktu
melakukan undian dengan sebuah mata uang, maka muka G yang nampak di atas atau
muka A yang nampak di atas. Kedua peristiwa ini saling ekslusif.
Karenanya:
P (muka G atau muka A) = P (G atau A)
= P (G) + P (A) = 1
Berarti adalah pasti salah satu muka nampak di atas ketika melakukan
undian dengan sebuah mata uang.
2) 100 lembar undian berhadiah akan diundi,
dan disediakan hadiah untuk hadiah pertama sebuah:
Hadiah kedua 5 buah
Hadiah ketiga 10 buah, sisanya
tidak berhadiah
Seorang membelinya selembar.
Beberapa peluang orang itu akan memenangkan hadiah pertama atau hadiah kedua:
Jawab: Ada 4 peristiwa yang
saling ekslusif yaitu A = hadiah pertama, B = hadiah kedua, C = hadiah ketiga
dan D = tidak berhadiah;
P (A) = 0,01
P (B) = 0,05
P (C) = 0,10
P (D) = 0,84
P (A atau B) = P (A) + P (B)
= 0,01 +
0,05 = 0,06
Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan
bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi peristiwa yang lain.
Ditulis
A|B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan
didahului terjadinya peristiwa B. peluangnya ditulis P
(A|B) dan disebut peluang bersyarat.
Jika terjadinya atau tidak terjadinya
peristiwa B tidak mempengaruhi peristiwa A, maka A dan B disebut peristiwa-peristiwa bebas
atau independen.
Ditulis
A dan B untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua terjadi :
P (A
dan B) = P (B) . P(A|B)
Jika A dan B independen maka
P (A|B) = P
(A)
Dan akibatnya
P (A
dan B) = P (A) . P (B)
Rumus ini dapat diperluas
untuk k buah peristiwa E1, E2, ….Ek yang independen.
P (E1 dan E2 dan …..dan Ek) = P (E1) . P (E2) …..P (Ek)
Contoh :
1.
Undian
dengan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Ambil A = nampak muka G pada undian
pertama dan B = nampak muka G pada undian kedua. Jelas A dan B dua
peristiwa yang independen. Maka didapat : (P (Adan B) = P (A).P (B) = ½.½ = ¼
2.
Sebuah kotak
berisi 12 kelereng merah., 18 kelereng berwarna hijau dan 29 kelereng berwarna
kuning. Kecuali warna, semua kelereng itu identik. Dari kotak diambil kelereng
2 kali, tiap kali sebuah kelereng. Kelereng yang diambil pertama kali tidak
dikembalikan lagi ke dalam kotak. Misalkan E = kelereng yang pertama diambil
berwarna merah, F = kelereng yang diambil kedua kali berwarna hijau.
Peristiwa-peristiwa E dan F tidak independen.
P (E) = merupakan peluang kelereng warna merah pada
pengambilan pertama.
P (F | E) = merupakan peluang kelereng warna hijau pada
pengembalian kedua, apabila kelereng pada pengembilan pertama berwarna merah.
P ( Edan F) = P(E) . P (F | E)
= (0,21)(0,38) = 0,0798
Merupakan peluang kelereng
warna merah pada pengambilan pertama dan kelereng warna hijau pada pengambilan
kedua.
Untuk dua peristiwa A dan B
yang mempunyai hubunganinklusif, berlaku hubungan : atau A dan B atau
kedua-duanya terjadi.
Rumus
: ( P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)
A dan B diartikan hubungan inklusi antara peristiwa A dan peristiwa B
Contoh :
Tumpukan kartu Bridge
ada 52 kartu terdiri dari atas 4 macam ialah:Spade, heart, diamond dan clup.
Tiap macam terdiri dari atas 13 kartu bernomor 2, 3, ……. 10, J, Q, K dan A.
Peluang menarik Spade, Heart, Diamond dan Club, dari tumpukkan kartu adalah 0,25.
Misalkan E= menarik kartu A dari tumpukan itu dan F= menarik kartu Spade.
Jelas E dan F dua peristiwa yang tidak saling eksklusif karena kita dapat
menerik selembar kartu A dari Spade. Peluang menarik sebuah kartu A atau sebuah
Spade adalah :
P(E+F) = P(E)
+ P(F) – P(E dan F)
C.
Ekspektasi (Harapan)
Misalkan suatu eksperimen yang dapat
menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi. Peluang dapat terjadinya tiap peristiwa
masing-masing P1, P2… Pk dan untuk tiap peristiwa
dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan d1, d2,…. Dk. Satuan-satuan ini bisa nol, positif ataupun negatif dan tentulah P1
+ P2, …. + Pk = 1
Ekspektasi
disingkat E, didefinisikan sebagai berikut:
E =
P1 . d1 + P2D2 + …..+ PkDk
= P1d1
Contoh
:
Si Bagio dan Si Kasino bersepakat bertaruh dengan
melakukan undian menggunakan sebuah mata uang logam, bila nampak muka G, Bagio
membayar Rp. 1.000,- kepada Kasino, dan Kasino membayar Rp. 1000,- jika nampak
A (angka).
Dari permainan ini Si Bagio mempunyai peluang
untuk menang ½ dan peluang untuk kalah adalah ½, sehingga ; E(untuk A) = ½ (Rp.
1000) + ½ (-Rp1000) = Rp. 0,-
Demikian
juga untuk Kasino
Berarti untuk jangka waktu yang cukup lama, dalam
permainan ini Bagio dan Kasino masing-masing menang nol rupiah.
BAB VII
DISTRIBUSI PELUANG
A.
Distribusi Binomial
Diperhatikan sebuah eksperimen yang hanya menghasilkan
dua peristiwa A dan bukan A (ditulis
), dimana P (A) = 
= peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan
sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa
A dan sisannya (N-X) peristiwa.
), dimana P (A) = = peluang terjadinya peristiwa A. dilakukan percobaan
sebanyak N kali secara independen, dimana X diantaranya menghasilkan peristiwa
A dan sisannya (N-X) peristiwa.
Jika+ P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),
+ P(A) untuk tiap percobaan, 1- = P(A),
maka peluang terjadinya peristiwa
a sebanyak X =x kali diantara N, dihitung oleh:
P(x) = P(X=x) = ( x (1-∏) n-x
Dengan N! +
1x2x3x….. x(N-1)xN dan 0! = 1 (N! dibaca N faktorial) rumus tersebut merupakan
koefisienbinomial
Rumus : = N
σ
dimana
paramet
er ditinjau dari peristiwa A.
contoh :
1.
Peluang untuk mendapatkan 6 muka A, ketika melakukan
undian dengan sebuah mata uang logam homogin sebanyak 10 kali adalah :
P
(x=7) = ((1/2)4
= 0,2050
2.
Pada pelemparan sebuah mata uang logam yang homogen
sebanyak 5 kali, ditentukan X = banyaknya G (gambar) yang muncul. Carilah P
(X≤2)
Jawab : =1/2, X = 5
=1/2, X = 5
P(X≤2) = P(X=0) = P(X=1) + P(X=2)
P9X=0) = (
) (1/2) 0(1/2)5 = 0,0312
) (1/2) 0(1/2)5 = 0,0312
P(X=1) = (
) (1/2) 1(1/2)4
) (1/2) 1(1/2)4
= 0,1562
P(X=2) = (
) (1/2) 2 (1/2)5
) (1/2) 2 (1/2)5
= 0,3125
P(X≤2) = 0,312 + 0,1562 + 0,3125 = 0,4993
B.
Distribusi Poisson
Pada dasarnya distribusi poisson merupakan perluasan dari distribusi
binomial, dengan N cukup besar dan π cukup kecil
|
Rumus : P(X) = P (X=x) =
Dimana
: x = 0, 2, ………. =
banyaknya sukses
e =
2,7183
λ = bilangan tetap = n π
n =
banyaknya ulangan yang dilakukan
distribusi poisson mempunyai parameter :
μ = λ
σ = 
contoh :
Jika peluang pengunjung yang pingsan saat melihat
parade akibat terik matahari adalah 0,005 maka hitunglah peluang bahwa dari
3000 pengunjung parade tersebut, trdapat 18 orang yang pingsan akibat terik
matahari.
Jawab
: π = 0,005 n = 3000
λ = n π = 3000 (0,005) = 15
|
P(X) = P (X=x) = = = 0,0706
C.
Distribusi Normal
Distribusi normal merupakan distribusi dengan variabel
acak kentinu dan merupakan distribusi yang sangat dominan. Distribusi normal sering disebut sebagai
distribusi Gauss.
Jika
variabel acak kontinu mempunyai fungsi densitas pada X = x dengan persamaan :
F(x) =
Dimana : π = 3,1416
e = 2,7183
μ = parameter merupakan
rata-rata untuk distribusi
σ = parameter merupakan
simpangan baku untuk distribusi
nilai x : - 
, maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
, maka dikatakan variabel acak X berdistribusi normal.
Apabila 
= 1 dan 
= 0, maka diperoleh distribusi standar.
= 1 dan = 0, maka diperoleh distribusi standar.
Fungsi identitasnya :
F(z) =
Untuk Z ; - < Z <
< Z <
Mengubah
distribusi normal umum, menjadi distribusi normal standar dapat ditempuh dengan
menggunakan transforamsi:
Z = ;
Dimana μ = rata-rata dan σ = deviasi standar
Untuk m = 0 dan s = 1
Kurva normal
mempunyai sifat-sifat antara lain:
- bentuknya simetrik terhadap sumbu x = m
- grafiknya selalu ada di atas sumbu datar x
- grafiknya mendekati (berasimtutkan) sumbu datar x dimulai dari x = m - 3s kekanan sampai m + 3s
- mempunyai satu modus, jadi kurga unimodal, tercapai pada x = m sebesar
- luas daerah grafik selalu sama dengan satu unit persegi hubungan sifat yang kelima dengan rumus:
f (x) = , adalah:
. Untuk menentukan
peluang harga X antara a dan b, yakni P (a < X < b), digunakan rumus:
P (a < X
< b) = dk, untuk
penggunaan rumus ini tak perlu dipakai, karena telah ada daftar yang
dimaksudkan.
Setelah kita
memiliki distribusi normal baku yang di dapat dari distribusi normal umum
dengan transformasi, maka daftar distribusi normal baku dapag digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari
distribusi normal baku dapat dicari. Caranya adalah:
- hitung Z hingga dua desimal
- gambarkan kurvanya
- letakkan harga Z pada sumbu datar, lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva.
- luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis ini dengan garis tegak dititik nol.
- dalam daftar, cari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas.
- dari Z di kolom kiri maju kekanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, maka didapat bilangan yang merupakan luas yang dicari.
Bilangan
yang di dapat ditulis dalam bentuk 0, xxxx (empat desimal) karena seluruh luas
= 1 dan kurva simetrik terhadap m = 0, maka luas dari garis tetak pada titik nol
kekiri ataupun kekanan adalah 0,5.
Contoh:
Penggunaan
daftar normal baku.
Akan dicari luas daerah:
antara z = 0 dan z = 2,26
Di baah Z
pada kolom kiri cari 2,2 dan di atas sekali angka 6. Dari 2,2 mamu ke kanan dan dari 6 menurut didapat
4881 luas daerah yang dicari 0,4881
- antara z = 0 dan z = -2,26
Di bawah Z
pada kolom kiri cari 2,2 dan diatas sekali angka 6. dari 2,2 maju ke kanan dan
dari 6 menurun di dapat 4881 luas daerah yang dicari 0,4881
anara z = -1,50 dan z = 1,26 dari grafik terlihat kita perlu mencari
luas daerah dua kali, lalu dijumlahkan dengan cara seperti no. 1
untuk z =
1,5 didapat 0,4332
untuk z = 1,26 didapat 0,3962
jumlah =
luas yang dicari = 0,8294
- Berat bayi yang baru lahir rata-rata 3.750 gram dengan simpangan baku 325 gram. Jika berat bayi berdistribusi normal, maka tentukan:
a. ada berapa bayi yang beratnya lebih dari
4500 gram?
b. Ada berapa bayi yang beratnya antara 3500
gram dan 4500 gram, jika semua ada 10.0000 bayi?
c. Berapa bayi yang beratnya lebih kecil atau sama dengan 40000 gram, jika semuanya
ada 10.000 bayi
d. Ada berapa bayi yang beratnya 4250 gram
jika semuanya ada5000 bayi?
Penyelesaian:
Dengan X =
berat bayi dalam gram, m =rerata
berat bayi dalam gram, m = 3750 gram,
s = 325 gram, maka:
Z =
gram, pada
grafiknya ada di sebelah kanan z = 2,31 luasnya
0,4896 ,
luas daerah lebih besar 2,31 luas daerah ini
= 0,5 – 0,4896
= 0,0104. jika ada 1.04% dari bayi yang beratnya lebih dari 4500 gram
b. 
dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31
dengan X = 3500 dan 4500 gram di dapat Z = dan Z = 2,31
Luas daerah yang dibatasi
anara --0,77 sampai 2,31 adalah jumlah dari 0,2794 dengan 0,4896 = 0,7690.
Banyaknya bayi yang beratnya
antara 3500 gram sampai 4500 gram adalah = 0,7690 x 10000 =7690
c. Bayi yang beratnya lebih kecil atua sama
dengan 4000 gram, maka beratnya harus lebih kecil dari 4000,0 gram Z = peluang bayi yang lebih kecil atau sama dengan
4000 gram = 0,5 – 0,2794 = 0,2206 banyaknya bayi = (0,2206) x 10,000 = 2,206
d. Berat 4250 gram berarti berat antara 4249,5 gram dan 4250,5 gram.
Jadi untuk X = 4249,5 dan X = 4250,5
didapat:
Maka luas daerahnya adalah 0,4382 – 04370
= 0,0012
Banyaknya
bayi = 0.0012 x 5000 = 6
D.
Distribusi Student
Distribusi
dengan variabel acak kontinu lainnya, selain dari distribusi normal, ialah distribusi
student atau distribusi t.
Rumus : t = 
Dimana:
= Rata-rata sampel
m =
rata-rata populasi
s
= simpang baku, populasi
Maka di dapat distribusi harga t dengan persamaan:
f (t) = 
dimana:
K =
merupakan bilangan tetap yang besarnya
bergantung pada n sedemikian hingga luas daerah di bawah kurwa sama dengan satu
unit.
(n – 1) = m = derajat
kebebasan, biasa disingkat dengan dk
Bentuk
grafiknya seperti distribusi normal baku simetrik terhadap t = 0, sehingga
sempitas lalu hampir tak ada bedanya. Untuk harga n yang besar, biasanya >
30, distribusi t mendekati distribusi normal.
Untuk perhitungan-perhitungan, daftar distribusi t sudah disusun dalam
daftar. Distribusi ini ditemukan oleh Gosse t yang menggunakan nama samaran
“student”
Contoh:
Untuk n = 20,
tentukan t supaya luas daerah antara t dengan t = 0,9.
Dari grafik dapat dilihat
bahwa luas luas ujung kiri dan luas ujung kanan = 1-0,90 = 0,10
Kedua ujung luasnya sama, mulai dari t
kekanan luasnya = 0,05, mulai dari t kekiri luasnya = 1-0,05 = 0,95.
Jadi untuk m= n-1 = 20 – 1 = 19 dan P = 0,95 didapat harga t =
1,73
Jadi antara t = -1,73 dan t = 1,73 luasnya
= 0,90
E.
Distribusi Chi Kuadrat (χ2)
Distribusi chi kuadrat merupakan distribusi dengan
variabel acak kontinu. Simbul yang dipakai ialah χ2.
apabila besar sampel n dan varians s2, maka : χ2
= dan didapat
distribusi sampling χ2 untuk memudahkan menulis, dan harga u > 0,
v = (n-1) = derajat kebebasam K bilangan tetap yang bergantung pada v,
sedemikian sehingga luas daeah di bawah kurva sama dengan satu satuan luas dan
e = 2,7183.
Grafik distribusi x2 umumnya merupakan kurva
positif yaitu miring kekanan, makin berkurang kemiringannya jika v makin besar.
Contoh: Gambar di bawah distribusi x2
dengan n = 10
a. Luas daerah yang diarsir sebalah kanak =
0,025, hitung X12
b. Luas daerah yang diarsir sebelah kiri =
0,05, hitung X12
Jawab:
a. v = (n-1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,25 =
0,975, dicari pada tabel di dapat X21 = 19,0
b. v = (n – 1) = 10 – 1 = 9; P = 1 – 0,05 =
0,95 dicari pada tabel didapat X12
Catatan :
Karena
distribusi X22 tidak simetrik, luas ujung-ujung daerah
yang diarsir bila diketahui jumlahnya, maka luas daerah ujung kiri yang diarsir
dan luas daerah ujung kanan harganya dapat berbeda-beda.
Dalam
beberapa hal, kecuali dinyatakan lain, biasa diambil luas daerah ujung kanan
yang diarsir sama dengan luas daerah ujung kiri yang diarsir.
F.
Distribusi F
Jika S12 dan S22
adalah varian-varians dari sampel-sampel acak independen dengan besar
berturut-turut n1 dan n2 yang berasal dari
populasi-populasi normal dengan varians-varians s12 dan s22, maka distribusi sampling harga S12/
S22 berbentuk distribusi F dengan derajat kebebasan: dk1
= v1 = n1 – 1; dk2; v2 = n2
– 1, Distribusi F ini juga mempunyai variabel acak yang kontinu.
Fungsi densitasnya mempunyai persamaan:
f (F)
= K
dengan variabel acak F memenuhi batas F > 0, K =
bilangan tetap yang harganya bergantung pada v1 dan v2,
sedemikian hingga luas di bawah kurva sama dengan satu. Kurva distribusi F tidak simetrik dan
umumnya sedikit positif.
Tabel distribusi F terdapat pada lampiran, daftar
tersebut berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan dk v1
dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang
diarsir, sedangkan dk = v1 ada pada baris paling atas dan dk = v2
pada kolom paling kiri untuk stiap pasang dk v1 dan v2.
Daftar berisikan harga-harga F dengan
kedua luas daerah ini (0,01 atau 0,05). Untuk tiap dk = v2, daftar
terdiri atas dua baris yang atas untuk peluang P = 0,05 dan yang bawah untuk P
= 0,01.
Contoh:
Untuk pasangan dk, v1 = 8 dan v2
= 29 ditulis juga (v1, v2) = 8,29), maka untuk P = 0,5
didapat F = 2,28 dan 3,20 untuk P = 0,01.
Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang P =
0,01 dan P = 0,05, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan
peluang 0,99 dan 0,95 digunakan hubungan:
F(1-P) (v1, v2)
=
Dalam rumus
di atas perhatikan antara P dan 1-P dan pertukaran antara dk (v1, v2)
menjadi (v1, v2)
Contoh:
Telah
didapat F0,05(8,29) = 2,28
Maka F0,095
(8,29) =
Telah
didapat F0,01 (29,8) = 3,20
Maka F0,099(29,8) =
Tidak ada komentar:
Posting Komentar