tugas bab 2 penyajian data

Ringkasan materi bab 2 cara penyajian data

PENYAJIAN DATA Menurut Muhammad Arif Tiro (1992;116-131), data yang telah dikumpulkan, baik yang berasal dari populasi ataupun dari sampel, untuk keperluan laporan dan analisis selanjutnya, perlu diatur, disusun, dan disajikan dalam bentuk yang baik dan jelas. Ada dua macam cara penyajian data yang sering digunakan, yaitu dalam bentuk tabel atau daftar, dan dalam bentuk gambar, grafik atau diagram. Bentuk-bentuk tabel yang biasa  digunakan adalah tabel baris-kolom, tabel kontigensi, dan tabel distribusi frekuensi. Selain tabel, banyak juga macam diagram sering digunakan, misalnya diagram batang, diagram gambar atau lambing, diagram garis, diagram lingkaran, diagram pancar dan lain sebagainya. Penyajian gambar Penyajian data dalam bentuk gambar atau diagram akan lebih menjelaskan lagi persoalan secara fisual. Data yang peubahnya berbentuk kategori atau atribut dapat disajikan dalam bentuk diagaram batang. Untuk menggambarkan diagram batang diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak yang berpotongan tegak lurus. Sumbu datar dibagi menjadi beberapa skala bagian yang sama, denikian pula sumbu tegak,dimana kedua skala ini tidak perlu sama. Diagram batang yang menyatakan keseluruhan kumpulan data yang sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi disebut histrogram. Sebuah histogram dibuat atas komponen-komponen berikut : Judul yang menyatakan populasi yang diperhatikan. Sumbu tegak yang menyatakan frekuensi berbagai kelas untuk histogram frekuensi. Sumbu datar yang menyatakan peubah x. nilai-nilai batas kelas, ujung kelas, atau tanda kelas dapat ditandai sepanjang sumbu x. Jika tabel frekuensi mempunyai kelas-kelas interval .yang panjangnya berlainan, maka tinggi diagram harus disesuaikan. Namun demikian, disarankan untuk membuat histogram dengan menggunakan panjang kelas interval yang sama. Kita bisa melihat bahwa bentuk histogram adalah diagram batang dengan sisi-sisi batangnya yang berdekatan harus berimpitan. Titik tengah kelas interval dinamakan tanda kelas yang diperoleh dengan menjumlahkan ujung bawah dan ujung atas kelas, kemudian hasilnya dibagi dua. Dari histogram terseut kita dapat membuat diagram-diagram garis dengan menghubungkan titik tengah tiap sisi atas  yang berdekatan , dan sisi terakhir dihubungkan dengan setengah jarak kelas interval pada sumbu datar. Bentuk yang didapat dinamakan polygon. Informasi statistic lasim disajikan dalam bentuk tabel dan grafik atau diagram. Masing-masing bentuk penyajian informasi tersebut memiliki jangkauan tertentu sebagai berikut : Tabel menyajikan angka-angka tepat, dan memuat informasi yang lebih banyak sehinnga ia memerlukan penelaahan atau pembacaan yang lebih cermat yang kadang-kadang sulit ditafsirkan. Grafik menyajikan angka-angka pendekatan saja yang memberikan gambaran umum yang bersifat lebih sederhana. Grafik dapat juga berfungsi sebagai frekuealat pengecek terhadap perhitungansi mateatis, dan menjadi petunjuk berharga untuk rencana analisisi, yang bahkan kadang-kadang merupakan alat analisis. ANALISA DATA Menurut Muhammad Arif Tiro (1999;116), sebelum data diolah lebih lanjut pemeriksaan kembali terhadap data perlu dilakukan. Hal ini dilakukan untuk menghindarkan terjadinya hal-hal yang tidak diinginkan, misalnya kekeliruan dan ketidak benaran data. Tidak sesuainya atau tepatnya alat ukur, tidak telitinya orang pembaca hasil pengukuran, dan tidak teraturnya pada waktu mengadakan pencatan akan mengahasilkan data yang tidak dapat dipercaya kebenarannya. Untuk menghindari hal yang seperti ini, peneliti harus memeriksa apakah ada data yang meragukan, jika ada ia harus melacak sumbernya sampai data itu diyakini kebenarannya. Ia harus pula memeriksa apakah semua pertanyaan dalam angket sudah di isi semua oleh responden. Jika masih ada yang beelum diisi, ia harus mengupayakan untuk melengkapinya. Jika terdapat data yang harus ditaksir, hendaknya ia menggunakan teknik penaksiran yang baik. Teknik penaksiran ini akan dibicarakan sendiri. Jika kesimpulannya, peneliti harus mendapatkan data yang baik dan objektif atau dlam ungkapan lain, sahih dan benar. Jika penghasilan terendah adalah Rp 50 ribu dan tertinggiRp 799 ribu, maka lebar kelasnya(I) dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut: Pembulatan Data Pada perhitungan dengan menggunakan data nalar, kita sering melakukan pembulatan angka. Untuk itu terdapat kesepakatan ahli statistika untuk secara konsisten mengikuti aturan-aturan sebahi berikut; Angka-angka dibawa 5 dapat dihilangkan pada pembulatan dibelakan koma. Misalnya jika dikehendaki pembulatan satu decimal, maka angka 1,34 dibulatkan menjadi 1,3. Angka-angka diatas 5 dalam pembulatan dibelakang koma dibulatkan menjadi satu. Misalnya jika dikehendaki pembulatan dalam satu decimal, mak angka 1,37 dibulatkan menjadi 1,4. Untuk angka 5 dibelakang koma dilakukan aturan berikut, (i) aturan genap terdekat. Jika angka 5 terdapat dibelakang bilangan genap, maka angka lima tersebut dihilangkan pada pembulatan. (ii) aturan ganjil terdekat. Jika angka 5 terdapat dibelakang bilangan ganjil, maka angka lima tersebut dihilangkan pada pembulatan. Ujung Kelas dan Batas Kelas Ujung kelas ialah bilangan-bilangan yang terdapat pada pinggir suatu interval. Jadi pada suatu kelas, terdapat dua ujung kelas, yaitu bilangan terkecil yang disebut ujung bawa dan bilangan terbesar disebut ujung atas. Selain ujung kelas, jug dikenal istilah batas kelas (class boundaries atau real class limits). Akan tetapi, kelas diperoleh dengan membagi dua jumlah ujung kelas yang berurutan. Jadi, batas kelas ketiga, pada contoh diatas ialah  sebagai batas bawah dan  sebagai batas atas. Disini terlihat bahwa lebar kelas merupakan selisi dari dua batas kelas yang berurutan, jadi lebar kelas = 199,5 – 99,5 = 100. Dengan telah diterapkannya ujung kelas dan batas memasukkan data ke dalam salah satu kelas menjadi lebih mudah. Disamping ujung kelas dan batas kelas,  dikenal lagi istilah tanda kelas yaitu titik tengah (class mark) pada setiap kelas. Angka ini didapatkan dengan membagi dua jumlah batas kelas bawah dan batas kelas atas. Jasi pada kelas ketiga dari contoh diatas, tanda kelasnya adalah . Dari uraian di atas terlihat bahwa ujung kelas tidak pernah berimpit, sedangkan batas bahwa pada kelas berikutnya. Menurut Murray R. Spiegel (2004;6-7). Ketika kita mengumpilkan data mentah yang sangat besar, umumnya akan sangat membantu jika kita mendistribusikan data. Tingkat Pendidikan Jumlah Tidak Sekolah Tidak tamat SD Tamat SD Tamat SLTP Tamat SLTA SLTA Plus 78 167 311 195 160 89 Total Kepala Keluarga 1000 Sumber : Survei Lapangan Tahun 1990 Untuk menghasilkan tabel distribusi frekuensi, dilakukan tiga tahap pekerjaan berikut : 1.      Menentukan banyaknya kelas atau klasifikasi data. 2.      Memasukkan data kedalam kelas yang sesuai. 3.      Menghitung banyaknya data pada setiap kelas. DISTRIBUSI FREKUENSI Menurut Muhammad Arif Tiro dan baharuddin Ilyas (2002;13-18), sifat-sifat penting dari sekumpilan data yang sanagt banyak dapat dengan mudah dipelajari dengan mengelompokkan data kedalam kelas-kelas tersebut dan penyajiannya dalam suatu tabel merupakan upayah penyederhanaan data. Tabel yang dihasilkan disebut distribusi frekuensi. Pengelompokan Data Data yang terdapat didalam tabel distribusi frekuensi disebut data kelompok. Pada penyajian hasil penelitian, kita sering mengelompokkan data dari suatu sampel kedalam suatu  selang (interval). Hal ini dilakukan untuk mendapatkan suatu gambaran menyeluruh yang baik dari suatu populasi. Namun harus disadari bahwa dengan mengelompokkan data kedalam kelas-kelas tersebut, beberapa identitas individu data dapat dihilangkan. Pengelompokkan data kedalam kelas-kelas penting artinya, terutama jika pengolahan  data dilakukan secara manual tanpa bantuan computer. Dengan cara ini, gamabaran yang bain dan menyekuruh dari suatu objek yang diteliti dapat diperoleh. Contoh tabel distribusi frekuensi akan diberikan sebagai berikut : Pada suatu penelitian kependudukan di Sulawesi Selatan, 1000 rumah tangga Pasangan Usia Subur (PUS) menjadi sampel. Komposisi tingkat penghasilan rumah tangga dari hasil penelitian tersebut diberikan pada tabel 2.1. jika tingkat pendidikan kepala rumah tangga keluarga PUS tersebut ingi diketahui, maka data tabel 2.2 menunjukkan tingkat pendidikan tertinggi yang ditamatkan mereka. Tabel 2.1 distribusi rumah tangga PUS menurut tingkat pendapatan. Penghasilan perbulan Dalam Ribuan Rupiah Banyaknya Rumah Tangga Dibawah 50 50-59 100-199 200-229 300-399 400-449 500-599 600-699 700-799 50 227 354 170 123 56 13 5 2 Total Rumah Tangga 1000 Sumber : Survei Lapangan Tahun 1990.  DISTRIBUSI FREKUENSI RELATIVE DAN KUMULATIF Menurut Muhammad Arif Tiro dsn Baharuddin Ilyas (200;18-22). Tabel 2.4. Distribusi frekuensi hasil tes statistic 150 orang Mahasiswa. Nilai Tes Banyaknya Mahasiswa 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 1 6 9 31 42 32 17 10 2 Jumlah 150 Tabel distribusi frekuensi yang dihasilkan diatas merupakan distribusi mutlak, yaitu frekuensinya dinyatakan dengan angka-angka absolute. Dari distribusi frekuensi mutlak, distribusi frekuensi relative dapat dibuat, yaitu dengan mengubah angka-angka mutlak kedalam persentase Tabel 2.5 diberikan contoh sebagai berikut : Nilai Tes Persentase 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99 0,67 4,00 6,00 20,00 28,00 21,33 11,33 6,67 1,33 Jumlah 100,00 Cara untuk menyajikan distribusi frekuensi relative ada berapa macam. Ada yang membuat secara bersama-sama dengan frekuensi mutlak dan ada pula yang hanya mencantumkan angka relatifnya saja. Selain distribusi frekuensi distribusi mutlak dan frekuensi relative seperti yang telah diuraikan, juga dikenal distribusi frekuensi kumulatif. Distribusi frekuensi kumulatif ada dua bentuk yaitu : Distribusi kumulatif “atau kurang” Distribusi kumulatif “atau lebih” Pada distribusi kumulatif atau kurang seperti pada Tabel 2.7, yang dicatat ialah ujung kelas atasnya saja. Kelas pertama dimulai denga angka 9 sebagai ujung atas dari kelas pertama. Kelas kedua dimulai dengan angka 19 sebagai ujung atas kelas kedua demikian kelas ketiga keempat dan seterusnya Tabel 2.7. Distribiusi Kumulatif “atau kurang” Nilai Tes Frekuensi Kumulatif 9 atau kurang 19 atau kurang 29 atau kurang 39 atau kurang 49 atau kurang 59 atau kurang 69 atau kurang 79 atau kurang 89 atau kurang 99 atau kurang 0 1 7 16 47 89 121 138 148 159 Pada distribusi kumulatif “atau lebih” yang dicata ialah yang kelas bawahnya, jadi dimulai dengan nilai-nilai 10, 20, 30, dsn seterusnya seperti pada tabel 2.8. Tabel 2.8. Distribusi Kumulatif “atau lebih”. Nilai Tes Frekuensi Kumulatif 10 atau lebih 20 atau lebih 30 atau lebih 40 atau lebih 50 atau lebih 60 atau lebih 70 atau lebih 80 atau lebih 90 atau lebih 100 atau  lebih 150 149 143 134 103 61 29 12 2 0 Menurut Murray R. Spiegel (2004;10), frekuensi relative dari suatu kelas adalah frekuensi dari kelas tersebut dibagi dengan frekuensi total dari seluruh kelas, dan biasanya dinyataka dalam bentuk persentase. Refresentase grafis dari distribusi frekuensi-relatif dapat diperoleh daro histogram atau polygon frekuensinya cukup dengan mengubah skala pada sumbu vertical dari frekunsi menjadi frekuensi relative, mengahsilkan diagram yang persis sama. Grafi-grafik yang dihasilkanpersisi sama. Grafik-grafik yang dihasilkan masing-masing disebut histogram frekuensi relative (histogram persentase) dan polygon  frekuensi relative (polygon persentase).               Menurut Muhammad Arif Tiro (1999;118), tabel distribusi frekuensi dapat dibuat dengan mengelompokkan dagta kuantitatif menjadi beberapa kelompok. Sebuah distribusi frekuensi dapat dengan mudah diubah menjadi distribusi frekuensi kumulatif dengan mengganti kolom frekuensi dengan frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif untuk setiap kelas dibawahnya (yang mempunyai nilai lebih kecil). Frekuensi kumulatif seperti ini disebut frekuensi kelas diatasnya. Informasi yang sama dapat diberikan dengan menggunakan distribusi frekuensi kumulatif relative. Hal ini menggabungkan ide frekuensi kumulatif dan ide frekuensi relative. Untuk membuat tabel distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama, kita lakukan sebagai berikut : Tentukan nilai, yaitu dat terbesar dikurangi data terkecil. Dalam hal ini. Misalnya data terbesar 99 dan data terkecil 16, maka rentang = 99-16 = 83. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Banyak kelas tergantung dari kebetulan, tetapi pada umunya bisa digunakan 5 kelas sampai dengan 12 kelas. Cara lain untuk data dari sampel besar (ukuran sampel n lebih 200), dapat digunakan aturan Starge, yaitu : Banyaknya Kelas = 1 + (3,3) log n Jadi, kita bisa mebuat tabel distribusi frekuensi dengan delapan buah kelas. Tentukan panjang kelas interval P, yaitu hadil bagi retang degan banyaknya kelas. Dalam hal ini P = 83/8 = 10, 375 dan dari sini kita bisa  mengambil P = 10 atau 11. Pili ujung bawah kelas interval pertama. Untuk itu  bisa diambil sama dengan data terkecil (16) atau nilai data yang kecil dari data terkecil (misalnya 15,5), tetapi solusinya harus kurang dari panjang kelas yang telah ditentukan,. Selanjutnya, tabel disesuaikan dengan menggunakan nilai-nilai yang telah dihitung. Dengan P = 11 dan mulai dengan data yang kecil dari data yang terkecil, diambil 14, maka kelas kedua 25-35, kelas ketiga 36-46, dan seterusnya. PENYAJIAN GRAFIK FREKUENSI Menurut Muhammad Arif Tiro dan Baharuddin Ilyas (2002;29-41), pennyajian data statistik denagn menggunakan grafik mempunyai suatu keistimewaan, karena memmberikan kesan yangmenarik sehingga mudah ditangkap artinya. Oleh karena itu, penyajian grafik  biasanya dilakukan sebagai pelengkap dari penyajian data dalam tabel frekuensi. Selain itu, terdapat pula grafik dan gambar statistic yang disajikan  untuk menggambarkan suatu masalah, sehingga lebih menarik di banding jika hanya diuraikan dalam angka-angka. Berabagai jenis grafik distribusi frekuensi, seperti : 1.      Histogram Frekuensi Histogram digambarkan dengan menggunakan sistem sumbu silang. Sumbu horizontal mengambarkan interval kelas dan pada sumbu vertical menggambarkan frekuensi pada setiap kelas. Jadi, histogram merupakan serangkaian empat persegi panjang dan luasnya sebanding dengan frekuensi setiap kelas. Interval kelas pada sumbu horizontal dibatasi oleh batas kelas. Hal ini terutama berlaku pada  data malar. Lain halnya data farik, yaitu data ynag menyatakan jumlah makhluk hidup atau benda-benda lain yang selalu dinyatakn dalam bentuk bilangan bulat, histogramnya dibuat dengan ujung kelas. 2.      Polygon Polygon digambarkan dengan menghubungkan titik-titik tengah atau tanda kelas setiap empat persegi panjang dari histogram frekuensi. Dengan menghubungkan secara berurutan tanda kelas mulai dari kelas pertama sampai keatas terakhir, didapatkan grafik histogram. Namun grafik ini harus tertutup. Hal ini dilakukan dengan menghubungkan tanda kelas dari kelas pertama dengan pertengahan skala pada sumbu datar yang berdekatan drngan empat persegi panjang itu. Hal yang sama dilakukan pula pada kelas yang terakhir, sihingga didapatkan gambar polygon frekuensi dari hasil tes statistic. 3.      Ogive Ogive adalah kuyrva frekuensi kumulatif yang telah dihaluskan sehingga kkita dapatkan suatu lengkungan yang disebut lengkung kumulatif. Terdapat dua jenis frekuensi kimulatif atau lebih, sehingga terdapat pula dua jenis ogive, yaitu lengkung kumulatif atau kurang dan lengkung kumulatif atau lebih. 4.      Kurva Lorens Kurva Lorens berbenutk bujur sangkar. Kurva ini merupakan satu bentuk distribusi kumulatif yang digunakan untuk mrnggambarkan tingkat pemerataan  pembagian pendapatan  atau penghasilan antara berabagai kelompok masyarakat 5.      Diagram Batang Diagram batang sering digunakan untuk menggambarkan distribusi frekuensi kualitatif, misalnya data dalam bentuk kategori. 6.      Diagram Lingkaran (Pie Diagram) Diagram lingkaran (pie diagram) digambaarkan untuk memperhatikan bahagian atau peranan masing-masing sektor yang membentuk sama bahagian total. 7.      Piktogram Piktogram  ialah data dalam bentuk gambar yang menarik, yang mewakili jumlah tertentu. 8.      Peta Statistik Peta statistik digunakan untuk menggambarkan distribusi geografis suatu keadaan atau kondisi pada suatu peta.  Menurut Murray R. Spiegel (2004;9), histogram dan polygon frekuensi adalah dua referesentasi grafis dari distribusi frekuensi. Sebuah histogram atau histogram frekuensi, terdiri dari sekumpulan  persegi yang mempunyai (a) alas pada sumbu horizontal (sumbu X), dengan pusat-pusat yang terletak pada tanda-tanda kelasnya dan panjang akan sebanding dengan frekuensi-frekuensi kelas. Jika seluruh interval kelas mempunyai ukuran yang sama, maka tinggi dari persegi panjang akan sebanding dengan frekuensi kelas, sehingga kita biasanya menetapkan bahwa tinggi-tinggi tersebut memiliki nilai yang sama, dengan frekuensi-frekuensi kelas. Jika interval-interval kelas tidak memiliki ukuran yang sama, maka tinggi-tinggi ini harus disesuaikan. Polygon Frekuensi adalah suatu grafik berbentuk garis dari frekuensi kelas yang diplot terhadap tanda kelas. Polygon frekuensi dapat diperoleh dengan cara menghubungkan titik-titik tengah dari puncak-puncak persegi panjang pada histogram.

KESIMPULAN

Penyajian data adalah data yang telah dikumpulkan, baik yang berasal dari populasi ataupun dari sampel, untuk keperluan laporan dan analisis selanjutnya, perlu diatur, disusun, dan disajikan dalam bentuk yang baik dan jelas. Ada dua macam cara penyajian data yang sering digunakan, yaitu dalam bentuk tabel atau daftar, dan dalam bentuk gambar, grafik atau diagram. Analisi Data Yang dimaksud dengan analisis data mempunyai dua arti sebagai berikut : Menguraikan/memcahkan suatu keseluruhan menjadi bagia-bagian/komponen-komponen yang lebih kecil,  sesuai dengan analsa agar supaya : Memperkirakan atau memperhitungkan besarnya pengaruh secara kuantitatif dari perubahan suatu (beberapa) kejadian lainnya.Distribusi frekuensi adalah banyaknya data yang terdapat dalam setiap kelas pada suatu daftar frekuensi yang berbentuk absolute. Distribusi frekuensi relative adalah fekuensi didalam  daftar yang dinyatakan dalam persentase. Sedangkan distribusi frekuensi kumulatif dapat dibentuk dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Penyajian Grafik Frekuensi Histogram adalah grafik dimana setiap kelas digambarkan satu bentuk kolom  sedemikian rupa sehingga luas dataran kolom tersebut sebanding dengan frekuensi kelas tersebut. Frekuensi polygon adalah pada sumbu datar ditentukan poin bagi tiap-tiap persegi panjang yang merupakan kelas-kelas interval, kemudian menghubungakn denag sebuah garis linear atau dengan garis terputus-putus. Ogive adalah garis untuk distribusi frekuensi kumulatif baik yang biasa maupun relative. Kurva frekuensi merupakan garis patah-patah atau persegi banyak, biasanya diratakan atau didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok mungkin dengan bentuk polygon tersebut yang menghasilkan lengkungan.

DAFTAR PUSTAKA

Tiro, Muhammad Arif . 1999. Dasar-dasar Statistika. Makassar : Badan Penerbit UNM. Tiro, Muhammad Arif dan Baharuddin Ilyas. 2002. Statistik Terapan untuk Ilmu Ekonomi dan Ilmu Sosial. Makassar : Andira Publisher Makassar. Spiegel, Murray R. 2004. Statistik. Jakarta : Erlangga.

.

Ringkasan Materi Bab VI Distribusi Normal,Distribusi T dan Distribusi F

1.   Distribusi Normal

Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggunaan kurva distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil nilai antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi normal.

Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang menjadi dasar banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang-ulang mengenai bahan yang sama.

Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit. Variabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisadipisahkan satu nilai dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai. Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu. Jika fungsi matematis tersebut digambar, maka akan terbentuk kurva kepadatan dengan sifat sebagai berikut:

                        1. Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terletak dalam rentang antara 0 dan 1

                        2. Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan luas daerah

                            di bawah kurva)

                        Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas di antara dua nilai variabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di antara dua nilai dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah tersebut dengan menggunakan integral tertentu (definit integral).

                        Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

Begitu μ dan σ diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambarkan. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar.

Dengan memeriksa turunan pertama dan kedua dari n(x ; μ, σ) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut :

                        1. Modus, titik pada sumbu datar yang memberikan maksimum kurva, terdapat pada x=μ

                        2. Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ

                        3. Kurva mempunyai titik belok pada x = μ σ, cekung dari bawah bila μ – σ < x < μ + σ,

                            dan cekung dari atas untuk harga x lainnya

                        4. Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak

                            menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan

                        5. Seluruh luas di bawah kurva diatas sumbu datar sama dengan 1

Bila x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh daerah yang diarsir dengan garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua daerah yang diarsir berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan masing-masing distribusi akan berlainan pula.

                         

Contoh soal :

Contoh Soal : Mawar adalah seorang peragawati yang akan diseleksi dengan tinggi badan 173 cm. Standar tinggi badan rata-rata peragawati adalah 171,8 dan standar deviasinya adalah 12. Berapakah standar normalnya (Z) ?
Penyelesaian :
Dik : x = 173, µ = 171,8, σ = 12
Dit : Z ?
Jawab : Z = x - µ
σ = 173 – 171.8 = 0.1
12

2. ANALYSIS OF VARIANCE (ANOVA)

n      ANOVA dapat digunakan untuk menguji kesaman 3 (tiga) atau lebih rata-rata populasi menggunakan data yang diperoleh dari pengamatan maupun percobaan.

n      Menggunakan hasil sampel untuk menguji hipotesis berikut:

                           H₀:  m₁ = m₂ = … = m_k

                           H_a:  minimal ada m_i ¹ m_j

n      Jika H₀ ditolak berarti minimal ada 2 rata-rata populasi yang memiliki nilai berbeda.

ASUMSI-ASUMSI PADA ANOVA

n      Untuk setiap populasi, variabel respons-nya terdistribusi normal.

n      Varian dari variabel respons, dinotasikan s ², adalah sama untuk semua populasi.

n      Unit observasi harus saling bebas (independent).

ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI

ESTIMASI VARIAN POPULASI ANTAR SAMPEL

n      Estimasi s² antar-sampel (between-samples) disebut mean square between (MSB).

                                                                            

n      Pembilang dari MSB merupakan sum of squares between (SSB).

n      Penyebut dari MSB menyatakan derajat bebas (degrees of freedom)yang terkait dengan SSB.

n      ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI

ESTIMASI VARIAN POPULASI DALAM SAMPEL

n      Estimasi s² yang didasarkan pada variasi observasi  dalam masing-masing sampel disebut mean square within (MSW).

n      Pembilang dari MSW disebut sum of squares within (SSW).

n      Penyebut dari MSW menunjukkan derajat bebas (degrees of freedom) yang bersesuaian dengan SSW.

n      ANOVA: PENGUJIAN RATA-RATA POPULASI

PERBANDINGAN ESTIMASI VARIAN: UJI F

n      Jika H₀ benar dan asumsi pada ANOVA terpenuhi, maka distribusi  

n      Jika rata-rata k populasi tidak sama, nilai MSB/MSW akan meningkat karena MSB overestimate.

n      Oleh karena itu, kita akan menolak H₀.

n      PROSEDUR PENGUJIAN RATA-RATA POPULASIHipotesis

                                     H₀:  m₁ = m₂ = … = m_k

                                     H_a:  minimal ada m_i ¹ m_j

n      Uji Statistik

                                                F = MSB/MSW

n      Aturan Penolakan

                                              Tolak H₀ jika F > F_a

               

            dimana nilai F_a didasarkan pada distribusi F dg derajat bebas k - 1 dan n_T - 1.

CONTOH  SOAL:
REED MANUFACTURING

n      Analysis of Variance (ANOVA)

            J. R. Reed ingin mengetahui apakah rata-rata jumlah jam kerja per minggu para manajer sama pada tiga perusahaan yang ada (Buffalo, Pittsburgh, and Detroit). 

            Sampel acak sederhana yang terdiri dari 5 orang manajer pada masing-masing perusahaan diambil dan jumlah jam kerja minggu yang lalu masing-masing manajer tersebut dicatat. Hasilnya seperti pada slide berikut.

n      Analysis of Variance (ANOVA)

                                                Prshn 1 Prshn 2 Prshn 3

            Observasi                     Buffalo        Pittsburgh              Detroit

                   1                             48                    73                    51    

                   2                             54                     63                    63

                   3                             57                     66                    61

                   4                             54                     64                    54

                   5                             62                     74                    56

            Rata-rata Sampel            55                     68                    57

            Varian Sampel              26,0                    26,5                 24,5

n      Analysis of Variance (ANOVA)

            Hipotesis

                                    H₀:  m₁ = m₂ = m₃

                                    H_a:  minimal ada m_i ¹ m_j ; i, j = 1,2,3

            dimana: 

            m₁ =      rata-rata jumlah jam kerja perminggu manajer    pada perusahaan 1

            m₂ =      rata-rata jumlah jam kerja perminggu manajer    pada perusahaan 2

            m₃ =      rata-rata jumlah jam kerja perminggu manajer    pada perusahaan 3

n      Analysis of Variance (ANOVA)

            Mean Square Between (MSB)

                        Karena ukuran sampelnya sama, maka

                        x = (55 + 68 + 57)/3 = 60

                        SSB = 5(55 - 60)² + 5(68 - 60)² + 5(57 - 60)² = 490

                        MSB = 490/(3 - 1) = 245

            Mean Square Within (MSW)

                        SSW = 4(26,0) + 4(26,5) + 4(24,5) = 308

                        MSW = 308/(15 - 3) = 25,667

n      Analysis of Variance (ANOVA)

Source of Variation	Degrees of Freedom	Sum of Squares	Mean Squares	F
Treatment	2	490	245	9,55
Error	12	308	25,667
Total	14	798

           

            Uji Statistik

                        F = MSB/MSW = 245/25,667 = 9,55

n      Analysis of Variance (ANOVA)

            Aturan Penolakan

                        Misalkan a = 0,05, maka F_0,05;2;12 = 3,89

                        Tolak H₀ jika F > 3,89

           

Kesimpulan : Karena F = 9,55 > F_0,05;2;12 = 3,89, maka H₀ ditolak.      Rata-rata jumlah jam kerja para manajer perminggu pada tiga perusahaan (Buffalo, Pittsburgh, and Detroit) tidak sama.

2.   DISTRIBUSI T

Adalah pengujian hipotesis yang menggunakan distribusi T sebagai uji statsistik, table pengujiannya disebut table T student. Distribusi T pertama kali diterbitkan tahu 1908 dalam suatu makalah oleh W.S. Gosset. Hasil uji statistiknya kemudian dibandingkan dengan nilai yang ada pada tabel kemudian menerima atau menolak hipotesis nol (Ho) yang dikemukakan. Cirinya : sample yang di uji berukuran kurang dari 30

Tabel Nilai t

df		α
	0.05	0.025	0.01	0.005
1	6.314	12.706	31.821	63.657
2	2.920	4.303	6.965	9.925
3	2.353	3.182	4.541	5.841
4	2.132	2.776	3.747	4.604
5	2.015	2.571	3.365	4.032
6	1.943	2.447	3.143	3.707
7	1.895	2.365	2.998	3.499
8	1.860	2.306	2.896	3.355
9	1.833	2.262	2.821	3.250
10	1.812	2.228	2.764	3.169
11	1.796	2.201	2.718	3.106
12	1.782	2.179	2.681	3.055
13	1.771	2.160	2.650	3.012
14	1.761	2.145	2.624	2.977
15	1.753	2.131	2.602	2.947
16	1.746	2.120	2.583	2.921
17	1.740	2.110	2.567	2.898
18	1.734	2.101	2.552	2.878
19	1.729	2.093	2.539	2.861
20	1.725	2.086	2.528	2.845
21	1.721	2.080	2.518	2.831
22	1.717	2.074	2.508	2.819
23	1.714	2.069	2.500	2.807
24	1.711	2.064	2.492	2.797
25	1.708	2.060	2.485	2.787
26	1.706	2.056	2.479	2.779
27	1.703	2.052	2.473	2.771
28	1.701	2.048	2.467	2.763
29	1.699	2.045	2.462	2.756
30	1.697	2.042	2.457	2.750
40	1.684	2.021	2.423	2.704
50	1.676	2.009	2.403	2.678
100	1.660	1.984	2.364	2.626
10000	1.645	1.960	2.327	2.576

Uji t Tidak Berpasangan

Uji t dikembangkan oleh William Sealy Gosset. Dalam artikel publikasinya, ia menggunakan nama samaran Student, sehingga kemudian metode pengujiannya dikenal dengan uji t-student. William Sealy Gosset menganggap bahwa untuk sampel kecil, nilai Z dari distribusi normal tidak begitu cocok. Oleh karenanya, ia kemudian mengembangkan distribusi lain yang mirip dengan distribusi normal, yang dikenal dengan distribusi t-student. Distribusi student ini berlaku baik untuk sampel kecil maupun sampel besar. Pada n ≥ 30, distribusi t ini mendekati distribusi normal dan pada n yang sangat besar, misalnya n=10000, nilai distribusi t sama persis dengan nilai distribusi normal (lihat tabel t pada df 10000 dan bandingkan dengan nilai Z).

Pemakaian uji t ini bervariasi. Uji ini bisa digunakan untuk objek studi yang berpasangan dan juga bisa untuk objek studi yang tidak berpasangan. Berikut contoh penggunaan uji t.

Uji t tidak berpasangan

Contoh kasus :

Kita ingin menguji dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi

1. Hipotesis

Ho : 1 =₂

H_A : 1 ≠ ₂

2. Hasil penelitian tertera pada Tabel 1.

Tabel 1. Data hasil penelitian dua jenis pupuk nitrogen terhadap hasil padi (t/h)                          

Plot	Pupuk A  Y1	Pupuk B  Y2
1	7	8
2	6	6
3	5	7
4	6	8
5	5	6
6	4	6
7	4	7
8	6	7
9	6	8
10	7	7
11	6	6
12	5	7

3. Data analisis adalah sebagai berikut

Hitunglah

₁            = 5.58

_Y 2          = 6.92

S₁           = 0.996

S₂           = 0.793

t_hit        =( ₁ – ₂)/√(S₁²/n₁) +(S₂²/n₂)

=( 5.58 – 6.92)/√(0.996²/12)+(0.793²/12)

= -1.34/0.367522 = -3.67

Setelah itu, kita lihat nilai t table, sebagai nilai pembanding. Cara melihatnya adalah sebagai berikut. Pertama kita lihat kolom α = 0.025 pada Tabel 2. Nilai α ini berasal dari α 0.05 dibagi 2, karena hipotesis H_A kita adalah hipotesis 2 arah (lihat hipotesis). Kemudian, kita lihat baris ke 22. Nilai 22 ini adalah nilai df, yaitu n1+n2-2. Nilai n adalah jumlah ulangan, yaitu masing 12 ulangan. Akhirnya, kita peroleh nilai t_table = 2.074.

t _table = t _{α/2 (df)} = t_{0.05/2 (n1+n2-2)}=t_{0.025(12+12-2)} = t_0.025(22) = 2.074

4. Kriteria Pengambilan Kesimpulan

Terima H₀, jika t_hit| < t _table, sebaliknya

Tolak H₀, alias terima H_A, jika t_hit| > t _table

5. Kesimpulan

Karena nila t_hit|= 3.67 (tanda minus diabaikan) dan nilai t_table=2.074, maka kita tolak H₀, alias kita terima H_A. Dengan demikian, ₁ ≠ ₂, yaitu hasil padi yang dipupuk dengan pupuk A tidak sama dengan hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B. Lebih lanjut, kita lihat bahwa rata-rata hasil padi yang dipupuk dengan pupuk B lebih tinggi daripada yang dipupuk dengan pupuk A. Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa pupuk B nyata lebih baik daripada pupuk A untuk meningkatkan hasil pa